5.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ НАСОСОВ

В системах солнечного теплоснабжения для изменения потенциалов теплового потока применяют термотрансфор­маторы, что позволяет наиболее рационально удовлетво­рить возникающие во все возрастающих размерах потреб­ности в теплоте и холоде за счет имеющихся различных источников теплоты и электроэнергии. В сочетании с си­стемами солнечного тепло — и хладоснабжения термотранс­форматоры заметно повышают эффективность этих систем.

Для определения действительного коэффициента пре­образования термотрансформатора пользуются выраже­нием [79]

ф=ї^гм, (1Л99)

где Тх и Т2 — начальная и конечная температура тепло­носителя, К; ц — эмпирический коэффициент, суммарно учитывающий потери цикла от внешней необратимости при теплопередаче, потери в компрессоре и т. п. Для ори­ентировочных расчетов значения ц рекомендуется при­нимать в зависимости от производительности установ­ки: до 1 МВт — 0,45…0,55; до 3 МВт — 0,55…0,60; свыше 3 МВт — 0,60…0,65.

В работе [80] приведена схема комплексной системы теплоснабжения, использующей солнечную энергию и те­плоту грунта. В систему (рис. 1.45) включены аккумуля­тор теплоты, резервный источник энергии (дублер) и ком­прессионный тепловой насос.

1 — солнечный коллектор; 2 — аккумулятор теплоты; 3 — тепловой насос; 4 — грунтовый теплообменник; 5 — потребители теплоты; 6 — дублер

Показателем эффективности использования альтер­нативных источников энергии является доля энергии от них в общей нагрузке теплоснабжения. Коэффици­ент эффективности (р зависит от вариантов схем системы теплоснабжения.

Первый вариант — моновалентная система, включаю­щая гелиоколлектор (ГК) и тепловой насос (ТН). В этом случае коэффициент эффективности представляет собой долю солнечной энергии QrK, подводимой от ГК к испари­телю ТН, в общей нагрузке теплоснабжения Qn0Tp:

ф‘=!в~=1“%1±^’ (1’200)

^потр ^потр

где Qpe3 — мощность теплового потока, поступающего от ре­зервного источника энергии, Вт; L — мощность, затрачен­ная на привод ТН, Вт.

Второй вариант — моновалентная грунтовая система с ТН, в которой используется один источник возобновляемой энергии ГТ — теплота грунта. Тогда коэффициент эффек­тивности представляет собой долю энергии QrT, подводи­мой от ГТ к испарителю ТН, в общей нагрузке теплоснаб­жения (3 :

^потр

ф2=-^=1-9Ре3+Ь. (1.201)

QnOTp QnoTp

Третий вариант — бивалентная система с двумя источ­никами возобновляемой энергии — ГК и ГТ. В этом случае коэффициент эффективности представляет собой долю суммарной энергии QrK + QrT, подводимой к испарителю ТН, в общей нагрузке теплоснабжения QnoTp:

Коэффициент ср используется для анализа эффектив­ности работы комбинированной системы возобновляемых источников энергии, на основании которого можно вы­брать оптимальный вариант работы установки по мини­мальным затратам топлива на резервный источник энер­гии (дублер).

Интенсивность солнечного излучения изменяется в те­чение дня. При достижении максимальных значений это приводит к нарушению номинального режима пароком­прессионного цикла в структурных элементах теплового насоса, вследствие чего ограничивается область исполь­зования солнечной энергии, особенно в южных районах России.

В связи с этим предложена более перспективная схе­ма теплонасосной системы солнечного обогрева [81] (рис. 1.46), состоящей из гелио — и абонентской систем, функцио­нально взаимосвязанных между собой контуром пароком­прессионного теплового насоса. В испарителе происходит отбор теплоты нагретой солнечным излучением воды с последующей трансформацией и передачей ее системам теплоснабжения.

Эффективность работы предлагаемой системы дости­гается за счет отбора части теплового потока нагреваемой воды с помощью теплообменника Т1 в гелиоконтуре, уста­новленном до испарителя и работающем на параллельном участке магистрального трубопровода системы теплопо­требления относительно теплонасосного контура.

ГС — гелиоконтур системы; ГП — гелиоприемник, ТН — тепловой на­сос; К — конденсатор; И — испаритель; СО — система низкотемпе­ратурного отопления; СГВ — система горячего водоснабжения; БА — бак-аккумулятор, ДИЭ — дополнительный источник энергии; РРТ — регулятор разности температур; ЦН — циркуляционный насос; Т1- ТЗ — теплообменники; РТ1-РТ7 — регуляторы температуры; — им­

пульсные связи

С помощью температурного регулятора РТ7 можно ста­билизировать рациональный температурный режим тепло­вого насоса, прежде всего в периоды максимальной интен­сивности солнечного излучения либо при несоответствии графиков выработки и потребления теплоты определенны­ми системами. При работе теплонасосной системы солнеч­ного теплоснабжения одновременно с выработкой теплоты происходит и зарядка бака-аккумулятора.

Предложенная система солнечного теплоснабжения дает возможность рационально распределить теплоту сол­нечного нагрева воды между теплообменниками для по­вышения технического ресурса ТН путем стабилизации его работы в номинальном теплогидравлическом режиме. Одновременно обеспечиваются условия повышения эффек­тивности процессов преобразования солнечного излуче­ния с увеличением общей выработки теплоты для систем коммунально-бытового назначения.

В последние годы во всем мире все большее внимание уделяется фотоэлектрическим преобразователям (ФЭП). Солнечные комбинированные фотоэлектрические станции весьма перспективны и в нашей стране.

Солнечные установки для производства электроэнергии реализуются в двух вариантах: в виде солнечно-тепловых электростанций (СТЭС) и на основе использования фотоэ­лементов, осуществляющих прямое преобразование сол­нечной энергии в электрическую.

Группы фотоэлементов с системами управления образу­ют солнечные фотоэлектрические станции (СФЭС). Работа СТЭС осуществляется при наличии прямого солнечного света, работа СФЭС возможна и при рассеянном солнечном свете (наличие облачности).

При реализации проекта СТЭС превращение воды в пар происходит в котле-концентраторе, откуда пар поступает в паровую турбину, вращающую электрогенератор. Для нагрева котла-концентратора энергией солнца последний располагается на башне высотой до 100 м, площадь под которой покрывается тысячами зеркал-гелиостатов, отра­женный свет которых направляется на котел-концентратор. В результате конструкция СТЭС получается чрезвычайно громоздкой, так как каждое зеркало-гелиостат имеет ин­дивидуальную систему управления, отслеживающую дви­жение солнца по небосводу. Реальная СТЭС мощностью 5 МВт занимает площадь 44 га, имеет КПД 14 % и при еже­годной работе в течение 1900 ч вырабатывает 730 МВт*ч электроэнергии. Эти параметры СТЭС соответствуют мощ­ности ТЭС 1 МВт, но СТЭС многократно превосходят ТЭС по стоимости. К недостаткам фотоэлементов относят их низкий КПД (12-14 %) и высокую стоимость.

Однако в последнее время, помимо полупроводниковых материалов на базе кремния и германия, стали использо­вать полупроводники — арсенид галлия и антимонит гал­лия. Фотоэлементы с этими полупроводниками выполня­ют двухслойными. В наружном, арсенидогаллиевом слое в электричество преобразуется видимая часть солнечного излучения, во внутреннем, антимонитогаллиевом слое в электричество преобразуется инфракрасная часть свето­вого излучения. КПД таких фотоэлементов достигает 35­37%, что существенно расширит возможности использова­ния СФЭС, особенно в автономных системах (например в космосе). Сооружение СФЭС значительной мощности удо­рожается из-за необходимости сооружения дорогостоящих металлических конструкций на больших территориях. Так, сооружение СФЭС мощностью 1 ГВт потребовало бы установки несущих конструкций на площади 100 га. Кро­ме того, СФЭС эффективно работают при чистой поверхно­сти фотоэлементов, поэтому их необходимо периодически очищать от пыли и грязи, что при площади в 100 га пред­ставляло бы значительные технические трудности.

Поэтому в Европейских странах (Швейцария, Герма­ния) нашли применение СФЭС для индивидуальных по­требителей, устанавливающиеся на крышах домов и кот­теджей. Площадь таких СФЭС составляет в среднем около 30 м2, что дает достаточную выработку электроэнергии и позволяет очищать поверхность СФЭС силами потребителя. Надежность и бесперебойность электроснабжения достига­ется согласованной работой СФЭС с электрической сетью, куда передаются излишки электроэнергии в дневное время и откуда получается электроэнергия, когда СФЭС не рабо­тает (рис. 1.44).

Основным препятствием на пути коммерчески выгод­ного широкого использования ФЭП является, в первую очередь, высокая стоимость применяемых полупроводни­ковых материалов. Поэтому вполне обосновано стремле­ние создать экономически эффективные, экологически безопасные технологии производства дешевых фотоэлек­трических преобразователей. Необходимо подчеркнуть, что в Российской Академии наук и Российской Академии сельскохозяйственных наук проведены фундаментальные исследования в области оптики, термодинамики, теплофи­зики и электродинамики, поэтому перспективы создания и развития солнечных фотоэлектростанций в нашей стране весьма велики.

Кристаллический кремний занимает доминирующее место в производстве ФЭП. Основное сырье для производ-

ства кремния — оксид кремния в виде кварцевого песка. Русские кварциты являются самыми чистыми в мире. Их залежи достаточны, чтобы обеспечить сырьем солнечные фотоэлектрические станции мощностью более 1000 ГВ.

Содержание кремния в земной коре составляет 8-Ю18 т. Цена кремния степени очистки 99,99 % равна стоимости урана, используемого в реакторах атомных электростан­ций, хотя содержание кремния в земной коре в 104 раз превышает содержание урана. Их одинаковая стоимость объясняется тем, что на развитие технологии производ­ства уранового топлива были инвестированы миллиарды долларов.

Следует отметить следующие пути повышения произ­водства фотоэлектрических станций в нашей стране [77].

Это, прежде всего, комплексные инвестиционные про­екты, рассчитанные на несколько лет [78].

Другим важным мероприятием является использова­ние фотоэлектрических установок с концентраторами сол­нечного излучения. Модули нового типа с концентратора­ми в виде призмы или световода имеют ряд преимуществ: компактная конструкция (350×50 мм); надежная защита солнечного элемента; отсутствие необходимости примене­ния специальной системы охлаждения солнечного элемен­та, так как они охлаждаются жидкостью, заполняющей корпус концентратора, и одновременно являются подводя­щей средой световода.

Перспективным является разработанная в ВИЭСХ тех­нология, использующая принципы неизображающей опти­ки. Это позволяет создать стационарные концентраторы для двухсторонних фотоэлектрических преобразователей. Такие ФЭП существенно экономичнее по сравнению с сол­нечными модулями традиционной плоской конструкции.

Разработанные в ВИЭСХ системы эффективно исполь­зуют рассеянный свет, не требуют дорогостоящих систем слежения за солнцем, отличаются низкой стоимостью об­служивания. Кроме того, в ВИЭСХ разработана новая эф­фективная система герметизации солнечных модулей, не требующая использования органических материалов. Суть ее в том, что свободное пространство внутри стеклопакета заполняется специальной жидкостью с оптимальным соче­танием оптических и тепловых параметров.

Электростанция, использующая ФЭП, конструктивно собирается из герметизированных под стеклом стационар­ных концентраторных солнечных модулей размером 1×2 м, установленных на общей раме с наклоном на юг под углом 30…50°. Годовая выработка теплоты одним модулем со­ставляет 200 кВт ч при КПД оптической системы 60 % или производственной теплоты в виде горячей воды или тепло­го воздуха, что эквивалентно 100 т у. т. в год.

Реализация Национального проекта, направленного на обеспечение солнечных технологий, конкурентоспособных традиционным энергетическим технологиям [51], будет со­действовать развитию солнечной энергетики в стране, что сыграет существенную роль, в частности, в энергоснабже­нии сельских потребителей.

Одним из способов повышения показателей солнечного коллектора является обеспечение равномерности потока теплоносителя в коллекторе. В первую очередь, это отно­сится к воздушным гелиоколлекторам. Определяя расчет­ным путем поля скоростей и температур для различных схемных решений, методом последовательных приближе­ний можно установить оптимальное решение этой задачи. Для этого надо решить уравнения конвективного теплооб­мена в коллекторе.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, описывающих процесс тепломассообмена в воздушном коллекторе. Среду полагаем несжимаемой и без внутрен­них источников теплоты или массы. Кроме того считаем, что масса переносится только за счет концентрационной диффузии и конвекции. При умеренных скоростях в при­ближении теории пограничного слоя имеем [69]:

— уравнение неразрывности

дх ду

уравнение движения

Если гравитационные силы малы, продольный гради­ент давления Эр/Эя; = 0, теплофизические свойства среды полагаются постоянными, то система уравнений принима­ет вид

Идентичность записи трех последних уравнений отра­жает факт подобия процессов переноса количества движе­ния, массы и энергии.

В уравнениях (1.191)-(1.198) приняты обозначения: w, w — составляющие скорости; р — плотность; т — вре­мя; р — давление; gx — ускорение свободного падения; р — динамическая вязкость; С — удельная концентрация; D

— коэффициент молекулярной диффузии; Ср — средняя удельная изобарная теплоемкость; X — теплопроводность; а — температуропроводность; D — субстанциальная произ­водная; V2 — оператор Лапласа.

Расчеты выполнены с помощью лицензионного при­кладного программного пакета Phoenics (версия 3.5) фир­мы СНАМ (Великобритания).

Схема воздушного коллектора приведена на рис. 1.28.

Размеры коллектора:

длина (координата х) 1,9м;

ширина (координата у) 0,9м;

высота (координата z) ширина щелей (координата у)

\

Рис. 1.28.

Схема воздушного гелиоколлектора

Температура поступающего в коллектор воздуха t = 20 °С.

Приведенные обозначения означают следующие вари­анты расчета (входная скорость, м/с, — температура дна, °С, которая может иметь два значения): 2-50; 2-30; 2-50-30; 5-50; 5-30;5-50-30;8-50; 8-30; 8-50-30.

При численном моделировании использовалась расчет­ная сетка:

50 ячеек вдоль канала (координата х) с равномерной разбивкой;

126 ячеек по высоте канала (координата г) со сгущени­ем сетки около дна и крышки канала (показатель 1, 2);

1 ячейка по ширине канала (координата у) для модели­рования псевдодвумерного течения.

По результатам расчетов построены графики измене­ния скорости, статического давления и температуры пото­ка теплоносителя в коллекторе (рис. 1.29-1.43).

Анализ полученных данных позволяет сделать следую­щие выводы.

На начальном участке канала скорость потока по высо­те коллектора очень неравномерна (рис.1.29, 1.34 и 1.39). В дальнейшем поле скорости выравнивается, и вблизи выход­ного сечения профиль ее близок к равномерному. С увеличе­нием скорости на входе в канал растет неравномерность ее как по сечению канала, так и по ходу течения потока. Сле­довательно, при росте напора воздуха, поступающего в кол­лектор, надо увеличить размеры входных и выходных щелей.

Рис. 1.29.

Профили продольной состав­ляющей скорости по высоте коллектора (координата г) в различных сечениях по дли­не канала (координата х). На­чальная скорость потока 2 м/с

Рис. 1.30.

Изменение статического дав­ления по длине коллектора (координата х). Начальная скорость потока 2 м/с

Рис. 1.31.

Профили температуры

по высоте коллектора (координата г) в различных сечениях по длине канала (координата ос). Начальная скорость потока 2 м/с, температура дна 50 °С

Рис. 1.32.

Профили температу­

ры по высоте коллектора (координата г) в различных сечениях по длине канала (ко­ордината х). Начальная ско­рость потока 2 м/с, темпера­тура дна 30 °С

Рис. 1.33.

Профили температуры по дли­не коллектора (координата х) в сечении z = 0,014 м при раз­личных температурах дна. Начальная скорость потока 2 м/с

Рис.1.34.

Профили продольной состав­ляющей скорости по высоте коллектора (координата г) в различных сечениях по дли­не канала (координата х). На­чальная скорость потока 5 м/с

Рис. 1.35.

Изменение статического дав­ления по длине коллектора (координата х). Начальная скорость потока 5 м/с

Рис. 1.36.

Профили температу­

ры по высоте коллектора (координата г) в различных сечениях по длине канала (ко­ордината х). Начальная ско­рость потока 5 м/с, темпера­тура дна 50 °С

Рис. 1.37.

Профили температу­

ры по высоте коллектора (координата г) в различных сечениях по длине канала (ко­ордината я). Начальная ско­рость потока 5 м/с, темпера­тура дна 30 °С

Рис. 1.38.

Профили температуры по дли­не коллектора (координата х) в сечении г = 0,014 м при раз­личных температурах дна. Начальная скорость потока 5 м/с

Рис. 1.39.

Профили продольной состав­ляющей скорости по высоте коллектора (координата г) в различных сечениях по дли­не канала (координата х). На­чальная скорость потока 8 м/с

Рис. 1.40.

Изменение статического дав­ления по длине коллектора (координата х). Начальная скорость потока 8 м/с

Рис. 1.42.

Профили температу­

ры по высоте коллектора (координата г) в различных сечениях по длине канала (ко­ордината х). Начальная ско­рость потока 8 м/с, темпера­тура дна 30 °С

Рис. 1.43.

Профили температуры по дли­не коллектора (координата х) в сечении г = 0,014 м при раз­личных температурах дна. Начальная скорость потока 8 м/с

Закономерность изменения статического давления (рис. 1.30, 1.35 и 1.40) мало зависит от скорости поступаю­щего воздуха. В начале канала происходит отрыв потока, что объяснимо резким изменением проходного сечения от щели к коллектору. Отрывные явления сопровождаются потерями энергии, поэтому рекомендуется края выходного сечения щели делать закругленными.

Профили температуры по высоте коллектора (коорди­ната z) и длине канала (координата х) мало зависят от на­чальной скорости потока и от температуры теплоотдающей пластины коллектора. В начале сечения коллектора для всех анализируемых вариантов температура воздуха равна 20 °С, но по мере продвижения по коллектору она растет: при температуре пластины 30 °С — до 25 °С, а при темпера­туре пластины 50 °С — до 30 °С (рис. 1.31 и 1.32, рис. 1.36 и 1.37, рис. 1.41 и 1.42). С увеличением скорости потока уменьшаются интенсивность нагрева и степень равномер­ности нагреваемого воздуха.

В каждом конкретном случае, учитывая функциональ­ные характеристики коллектора, можно определить его оптимальные конструктивные и режимные параметры.

Солнечные коллекторы, как правило, устанавливаются с наклоном по отношению к горизонтальной поверхности. Надо полагать, что при прохождении теплоносителя коэф­фициент теплоотдачи и плотность теплового потока будут зависеть от угла наклона коллектора. Данный вопрос особо существенен при использовании в качестве теплоносителя воздуха. В этом отношении заслуживает внимания работа

[74]. Авторы выполнили исследования в диапазоне числа Рэлея до 108, углы наклона коллектора от горизонтальной поверхности изменяли в диапазоне 0 < ср < 70°.

Результаты исследования показа­

ли, что при числах Рэлея вплоть до Ra = 50000 для всех значений угла ср < 70° коэффициент те­плообмена хорошо аппроксимируется уравнением

Nu = 1,44 [1 — 1708/(Ra coscp)]. (1.186)

При больших значениях числа Рэлея замена Ra на Racoscp может привести к существенным погрешностям, особенно в пределах изменений 1708 < Racoscp < 104 и 30° ^ ср й 60°.

Данные, приведенные в работе [75], показали, что при значительных числах Рэлея изменяется структура потока. При этом термическое сопротивление сосредоточено в двух пограничных слоях, находящихся в двух ограничиваю­щих поверхностях.

Для ср < 70° число Нуссельта

Nu = Racoscp/5830. (1.187)

Авторами получена единая формула для определения коэффициента теплообмена наклонного воздушного слоя в условиях свободной конвекции для любых значений числа Рэлея вплоть до Ra = 108:

Nu = 1 + 1,44 [1 — 1708/(Racoscp)] + [(Racoscp/5830)1’3 — Щ1.188)

Более точные исследования выполнил X. Инхаба [76]. Им исследован процесс свободной конвекции. Теплоноси­телем служил воздух. Из результатов исследований следу­ет, что угол наклона коллектора оказывает существенное влияние на структуру потока и на значение коэффициента
теплоотдачи. Для определения коэффициента теплоотдачи предлагается расчетная зависимость

Nu = 0,381(sincp)0,674Ra.

Формула (1.189) применима для пределов изменения угла ср = 30…90° при значениях Ra = 2*103…6*105. В этой формуле использовано модифицированное число Рэлея:

Ra = gsincp р ATd3(ia),

где g — ускорение свободного падения; р — коэффициент теплового расширения; АТ — разность между температу­рой нагретой поверхности и средней температурой возду­ха на входе в канал; d — минимальное расстояние между противоположными наклонными боковыми стенками ка­нала; р — коэффициент динамической вязкости; а — коэф­фициент температуропроводности.

В работе [74] приведены результаты эксперименталь­ных исследований теплообмена при наклонном натекании струи на плоскую поверхность. Угол между поверхностью и осью струи изменялся от 90° до 30°, а число Рейнольдса струи — в диапазоне 1*104…3,104. Получены изотермы, определяющие поля температур на плоскости, при раз­личных значениях плотности теплового потока. При на­клонном поступлении теплового потока точка максиму­ма коэффициента теплоотдачи смещается относительно точки пересечения геометрической оси потока с поверх­ностью пластины. По предложенным расчетным соотно­шениям можно найти среднее значение теплового потока, передаваемого пластине. Результаты этих исследований могут быть использованы для оценки теплоотдачи сол­нечных лучей в зависимости от их наклона в течение дня по отношению к тепловоспринимающей поверхности коллектора.

Анализ структуры потока показывает, что, как прави­ло, всю область течения можно разделить на прилегающий
к поверхности канала пограничный слой и внешний поток, который может рассматриваться как потенциальный.

Пограничный слой играет основную роль в процессах дина­мического и теплового взаимодействия потока с поверхностью омываемого им тела. Потери энергии определяются отрывны­ми явлениями движения потока и вызванными ими вихрео­бразованиями. Поэтому необходимо создать такие условия те­чения, чтобы отрывные явления сводились к минимуму.

В работе [47] приведена математическая модель процес­сов теплоотдачи и трения в условиях безотрывного течения воздуха. Авторы исходят из анализа дифференциальных уравнений ламинарного пограничного слоя [69].

В этих уравнениях приняты обозначения: р — плотность теплоносителя (воздуха); U, V — продольная и поперечная составляющие скорости потока; Ua, Ux — скорость потока соответственно на стенке и на расстоянии от неё; р, Т — дав­ление и температура потока; Та, Тх — температура потока на стенке и на расстоянии от неё; ср — удельная изобарная теплоёмкость; Я — теплопроводность.

Для учёта влияния градиента давления и трения на те­плопередачу необходимо преобразовать уравнение закона сохранения массы

pU^S = const; (1.171) (1.172) дх дх dUm 8S. dx Sdx’ (1.173) S = (a — 5*)&. (1.174)
da db dx dx
(1.175)
a = a0 + x tgy; (1.176)
(1.177)
(1.178)
V — г
(1.179)
(1.180)
Л =

(1.181)
Давление в диффузорно-конфузорном канале і
xtgy
(1.182)
а-т ,— а-т ,— VRe VRe

где Re — число Рейнольдса.

Приведенная система уравнений может быть использо­вана для численного решения задачи теплообмена и тре­ния в каналах теплообменника.

Как показывают исследования, в каналах гелиоприем­ников возможны три вида движения теплоносителя: без­отрывное, предотрывное и отрывное [59, 60]. Поток может быть как ламинарным, так и турбулентным [61].

Для решения задачи пограничного слоя следует руко­водствоваться приведенной ниже методикой.

Примем следующие допущения: поток — установив­шийся, жидкость- несжимаемая, течение — двухмерное без теплообмена. Существующие методы приближенного решения заданного пограничного слоя на профиле про­извольной формы основываются на решении уравнения импульсов

где 5** — толщина потери импульса; 5* — толщи­на вытеснения; v0, р0 — скорость и плотность на внешней границе пограничного слоя; Н=5*/8**; тw — напряжение трения на стенке.

Входящие в уравнение (1.183) интегральные толщины пограничного слоя определяются при известном профиле скорости по следующим соотношениям — толщина вытеснения

Так как в уравнении импульсов входят три неизвест­ных — 5**, 5* и tw, то приближенные методы расчета сво­дятся к тому, чтобы прийти к уравнению с одним неиз­вестным путем выбора семейства профилей скоростей, зависящих от одного параметра. В качестве такого параме­тра предложена величина f, называемая формпараметром.

Идеи Л. Прандтля, К. Тейлора и А. К. Колмогорова о существовании внутренних масштабов турбулентности по­зволили создать полуэмпирические методы расчета погра­ничного слоя [69-72].

Заслуживает внимания метод расчета турбулентного пограничного слоя с исчезающей вязкостью [73]. Этот ме­тод учитывает, что размеры вязкой области убывают бы­стрее, чем размеры всего пограничного слоя.

Естественная циркуляция теплоносителя используется в небольших солнечных установках.

Математическая модель представлена нестационар­ными уравнениями энергии, движения и сплошности для всех элементов установки с соответствующими начальны­ми и граничными условиями, обеспечивающими сопря­
жения этих элементов. При этом учитываются наиболее существенные характеристики тепловых и гидродина­мических процессов, протекающих в системе в целом и в каждом её элементе. Процесс расчёта включает ряд этапов: тепловой расчёт солнечного коллектора, тепловой расчёт бака-теплоаккумулятора совместно с соединительными трубопроводами, определение расхода теплоносителя при его естественной циркуляции [68].

Температура прозрачного покрытия Тс=Тс(х, х,у) опре­деляется уравнением

8сРсСс^ = ^ас(?;-Гс) + С/с0(Гс-Г0). (1.140)

дх

При расчете коэффициента тепловых потерь U учиты­валось излучение пластины и стекла (прозрачной изоля­ции), свободная конвекция между пластиной и стеклом в воздушном зазоре, теплопроводность через теплоизоляцию ит. д.

Температура пластины абсорбера описывается уравнением:

Начальное условие для уравнений (1.140) и (1.141) име­ет вид Тй=Тс= Т0 при т = 0 .

Граничные условия для области пластины ozxz—t ozyiLCK можно представить следующим образом:

дТ N

—— = 0 при х =—; дх 2

ЯГ

2Я. а8а-ті = а»я^.(Гв ~ТЖ) при х = 0. дх

Здесь предполагается, что тепловой поток равномерно распределен по периметру трубы солнечного коллектора,

ВТ дТ

—- = 0 при у = 0, —- = 0 при у = ігк.

ду ‘ ду

Температурные поля Тс=Тс(х, х,у)и Т&=Тй(х, х,у)опреде­ляются в области 0 < т < т„

N

0<ж<—, 0<y<LCK. (1.144)

2

где tc — продолжительность светового дня.

Для типовой конструкции солнечного коллектора вы­полняется неравенство LCK « N/2, поэтому представляется возможность провести усреднение температурного ПОЛЯ по координате х, т. е. свести задачу к одномерной, полагая

Та(х, у)=— f Ta(z, x,y)dx; N J

Тс(х, у)=^~ j Тс(х, x,y)dx. N J

В гелиосистемах с естественной циркуляцией обычно осуществляется ламинарный режим течения жидкости, для которого справедливо соотношение аж =4,36 Я, ж/гіж.

С учетом этого соотношения и приведенных выше гра­ничных условий можно записать:

8сРссс^ = ийС(Тй-Тс) + ис0(Тс-Т0). от

8.РА^ = *А0-18,7^-(Т.-Тя) + Р-ЩТл-T0)) + Uac(Tc-TJ. (1.146)

Индексы усреднения в этих формулах опущены. Систе­ма уравнений (1.145) и (1.146) решалась при следующих условиях:

Та = Т0=Т прит = 0

граничные:

-^- = 0 приу = 0яу = LCK

Температурное распределение в жидкости, протекаю­щей по трубам коллектора, описывается дифференциаль­ным уравнением конвекции:

С1 яф

+ сж—^г = 13,7^*(7;-Тж). (1.149)

п ду

Тепловой расчет солнечного коллектора заключается в решении уравнений (1.145), (1.146) и (1.149) при началь­ных и граничных условиях:

Я’г яу

ТЛ = ТЖ=Т0=Т при т = 0; = 0 при у = 0, = 0 при у = LCK. ц 150)

В уравнениях (1.140)—(1.150) приняты обозначения: Гс, 8С, рс, сс — соответственно температура, толщина, плот­ность и удельная теплоёмкость прозрачного покрытия; т — время; Та — температура пластины поглощающего эле­мента (абсорбера); Т0 — температура окружающей среды; U — коэффициент тепловых потерь, Ui = X. J 54 (X — теплопро­водность; 5 — толщина пластины); LCK, N — размеры пла­стины; ‘кж — теплопроводность жидкости (теплоносителя); <1ж — диаметр трубопровода для теплоносителя; Gx — расход теплоносителя; Тж — температура теплоносителя.

Математическая модель бака-теплоаккумулятора (БТА) учитывает эффект перемешивания стратифициро­ванных слоев жидкости в результате конвекции при подво­де горячего теплоносителя. Уравнение сохранения энергии для БТА имеет вид:

7бта=7о при т = 0.

Граничное условие:

зт

^БТА = ^ж. под (х>Ьг) при 2 = 0; >-ж —= С/бтао(?бта — Т0) при z — НБТА (1.152)

Температура жидкости в подъемном трубопроводе Гж. под =Гж. под(*>У) определяется уравнением:

Начальное условие:

7,ж. под=7,о при т = 0. Граничное условие:

7,ж. под=7,ж(т, А;к) при У = 0.

Температура жидкости в опускном трубопроводе Гж. оп =7,ж. оп(т, У) определяется уравнением:

Начальное условие:

Тж. оп=Т0 При Т = 0.

Граничное условие:

Для определения расхода жидкости по замкнутому кон­туру воспользуемся уравнением Навье-Стокса для одно­мерного течения жидкости по трубе:

Применяя уравнение к поперечному сечению трубы, получим:

где со = со(т, В), р = р(т, %) — средние по сечению скорость и давление жидкости; %ст — касательное напряжение к стен­ке трубы.

Здесь учтено, что на оси трубы (£ = 0)

дсо т = ц—

%

а на стенке трубы (£ = d/2)

5со

Индекс усреднения в дальнейшем опущен. Поскольку движение жидкости в результате естественной конвекции происходит по замкнутому контуру гидравлической систе­мы установки, то произведем интегрирование уравнения (1.158) по этому контуру:

Проанализируем величины, стоящие в правой части уравнения (1.159). Можно показать, что

^ст(^ = — р»^ЕА/ »

(

где hi — удельные потери напора на преодоление всех сил сопротивления на і-м участке гидравлического контура. Рассмотрим интеграл

ТЛ г* м ч ч

Как известно, разность между объемной силой и силой давления при естественной конвекции жидкости можно принять равной g(p-p0). Таким образом

Рж**-|| Y^ = -<j> £(рж — Ро)sin (Рж — Ро)sin »

где ф£, — угол наклона контура dE, к горизонтали.

Проанализируем величины, находящиеся в левой ча­сти уравнения (1.159). Так как скорость жидкости при естественной циркуляции мала,

скоростным слагаемым пренебречь.

Первое слагаемое в левой части уравнения (1.159) пред­ставим в виде:

С доз,, доз,

В результате уравнение (1.159) примет удобный для практических расчетов вид

Записывая уравнение неразрывности для всех элемен­тов гелиоситемы

(СК, БТА, опускного и подъемного трубопроводов) и учитывая соотношение

-Нтэгрд.011

—:1±^«————- , первое слагаемое представим:

/БТА fsc. on

Вводя коэффициент объемного расширения, первое слагаемое в правой части уравнения (1.160) запишем в виде:

^ск

—’^(P*-Po)sintPds = P’ J [гж (у)-Гж. под(іж. ппд)]SincpCKrfi/- П 161)

Ро о v • /

где фск — угол наклона солнечного коллектора; перепа­дом температур по длине соединительных трубопроводов пренебрегаем.

Последний интеграл в правой части уравнения (1.161) является движущей силой для свободной конвекции в БТА, приводящей к образованию замкнутых токов жид­кости внутри бака, поэтому данным интегралом можно пренебречь.

Записывая выражение для гидравлических потерь, пренебрегая местными сопротивлениями по сравнению с сопротивлением по длине и учитывая, что для ламинар­ного режима течения, который, как правило, имеет место при естественной циркуляции теплоносителя, коэффици­ент сопротивления по длине определяется соотношением А/ = 64/Re, второе слагаемое в правой части в формуле (1.161) запишем в виде:

Здесь учтено, что ^ ТА ^БТА ^ж. оп 1ж. оп. В результате уравне­ние движения жидкости примет вид:

Начальное условие: Ож = 0 при т = 0.

В уравнениях (1.151)-(1.163) кроме указанных в тек­сте, приняты обозначения: ТБТД — температура жидко­сти в баке-аккумуляторе; fBTA — поперечное сечение ВТ А; иБТА0 — основные тепловые потери в БТА; НБТД — высота БТА; а — скорость; ^ — естественные координаты для движения жидкости по трубе; g — ускорение свободного падения; р — динамическая вязкость; уж — кинематиче­ская вязкость жидкости; Р’ — угол наклона поверхности к горизонту.

Таким образом, гелиосистема с естественной циркуля­цией описывается следующей системой уравнений, с уче­том начальных и граничных условий:

для солнечного коллектора:

"„РА — ь = (Д — Tc)+Uc0(Tc-Т0); ах

с)Т dzT X

6яряся —— = ХЯ8„ —f-13,7—247; — Тж) + (<7- (7,(71 — TQ)) + UaJTc-71);

a a dx a a dy2 N a ж г a 0 ac 0 a

ndl nn dT G dT

c p Чж-од + r = 13,71 (T — T );

4 dx n dy ‘

Tc = T& = Тж = T0 при x = 0;

■ — 0, Тж — Тж ПГ1Д(ЬЖ под) при ї/ = 0;

п г

—- = 0 При!/ = £ск.

ву

— для бака-аккумулятора (БТА) с подъемным и опуск­ным трубопроводами:

, 9гБТД ртбта —

РжСж/бТА — + Сж^ж _ “ Аж? БТА — 2 +(

OX OZ OZ

„ г агж.„,л, „ агж…д

Ржсж 4 Ьж. под ^ + ^жЧк^ж. под Qy —

~ ^Ж. ПОД^Ж. ПОдАк. ПОД (^Ж. ПОД А ) j

— уравнение движения:

=0 при т = 0.

Расчет проводился методом конечных разностей по не­явной схеме Кранка — Николсона, которая является абсо­лютно устойчивой.

Рассмотрим математическую модель тепловых и гидро­динамических процессов, происходящих в солнечной на­гревательной системе, состоящей из солнечного коллектора, бака аккумулятора и соединительных трубопроводов — подъ­емного и опускного. Тепловой расчет всех элементов солнеч­ной системы с естественной циркуляцией теплоносителя может быть выполнен на основе математической модели, учитывающей наиболее существенные факторы тепловых и гидродинамических процессов, происходящих в каждом из элементов системы при их взаимодействии. Такая мо­дель может быть представлена нестационарными уравне­ниями теплопроводности для каждого элемента установки, а также уравнением движения жидкости, циркулирующей по термосифонному контуру. В разработанную математи­ческую модель был внесен ряд изменений и дополнений по сравнению с известными решениями [50]:

— модель базируется на двумерном представлении те­пловых процес-сов с учетом теплоемкости материа­лов, что особенно важно для случая использования полимеров в конструкции солнечного коллектора;

— учитывался эффект охлаждения абсорбера сол­нечного коллектора жидкостью, поступающей из бака-теплоаккумулятора.

Для упрощения этой модели воспользуемся метода­ми теории размерностей. Дифференциальная задача при­водится к безразмерному виду. В качестве характерных (масштабных) величин принимаются следующие значе­ния: время начала работы системы т0 = 10 ч 00 мин; раз­мер — длина соответствующего элемента системы 10; сред­няя температура элемента системы Т массовый расход жидкости G0, соответствующий 12 ч 00 мин.

При тепловом расчете водонагревательной системы для уравнений теплопроводности прозрачного покры­тия, теплоприемника и жидкости в каналах коллектора и трубопроводах можно использовать стационарные при­ближения, в то время как для бака-аккумулятора рассма­триваемой системы, распределение температурного поля по высоте аккумулируемой емкости с течением времени должно описываться нестационарным уравнением. Таким образом, математическая модель рассматриваемой гелио­системы в квазистационарном приближении представля­ется следующей дифференциальной задачей:

1) для прозрачного покрытия:

(1.127)

(1.129)

3) для жидкости в трубах коллектора:

(1.130)

7) уравнение движения жидкости в каналах абсорбера:

ik

kfGf=gv0sinQkj(Tf(y)-T2(l2))dy. (1.139)

В соответствии с разработанной моделью был проведен расчет гелиосистемы с плоским солнечным коллектором. Для трубопроводов и бака-теплоаккумулятора (БТА) дли­на подающего трубопровода 1х = 1 м; длина отводящего тру­бопровода 12 = 2 м; диаметр трубопровода = d2 = 0,025 м; высота БТА — Н = 0,6 м; диаметр емкости БТА — d6 = 0,46 м.

Результаты расчетов представлены на рис. 1.26 и 1.27. Точками показаны экстремальные данные.

Gf, кг/с 0,018 0,016 0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0

В публикации [64] проанализированы и обобщены основные работы, посвященные расчету коллекторов.

Уравнение баланса энергии для коллектора записыва­ется так:

«пол^погл-^-Го), (1.113)

где цпол, цпогл — удельные полный и поглощаемый потоки солнечной радиации; U — коэффициент потерь коллектора; гп и Т0 — средняя температура пластины солнечного кол­лектора и окружающей среды соответственно;

Тепловая мощность, Вт/м2, отводимая от коллектора, может быть определена по формуле [65]

qk=^FR(ai)H[l-U(T3X-Г0)]/((ат)Я), (1.114)

где А — площадь солнечного коллектора, м2, FR — коэффи­циент отвода тепла от коллектора; та — поглощательная способность солнечного коллектора (а — поглощательная способность поверхности коллектора; т — пропускательная способность прозрачного покрытия коллектора); Н — ча­совая суммарная плотность потока солнечной радиации, приходящаяся на поверхность солнечного коллектора, Вт/м2; U — полный коэффициент тепловых потерь коллек­тора, Вт/(м2-К); Т0, Твх — температура окружающей среды и теплоносителя на входе в коллектор, К;.

Методы расчета FR, та и U достаточно подробно рассмо­трены в работе [65].

Заметим, что коэффициент отвода теплоты FR равен отношению фактически полученной полезной энергии к той энергии, которую можно получить, если температура всей поглощающей поверхности равна! Гвх. Значение это­го коэффициента определяется конструкцией коллектора и несущественно зависит от плотности потока солнечной радиации и температур поглощающей поверхности и окру­жающей среды.

Полный коэффициент U для большинства конструкций солнечных коллекторов равен 0,5…1,0 Вт/(м2-К).

В работах [64, 65] приведено обобщенное полуэмпири­ческое уравнение для определения коэффициента потерь

где а — постоянная Стефана-Больцмана; єп и єс — степени черноты пластины и стекла; о — число стеклянных покры­тий; ас, адн, аст — коэффициенты теплоотдачи соответствен­но стекла, днища и стенки; 5дн, А, дн — соответственно тол­щина и коэффициент теплопроводности днища; Тр — так называемая «равновесная температура коллектора»; Аст, А — площади соответственно стенки и остекленной части коллектора.

с = (1 — 0,04ас+ 510_4а2с)(1 + 0,058и).

Коэффициент теплообмена стекла ас обычно принима­ется по формуле Мак-Адамса [9]

где v — скорость ветра, м/с.

Аналогичная расчетная формула предложена в работе [64].

Потери теплоты через боковые стенки коллектора не­значительны и или можно пренебречь [24].

При равновесной температуре коллектора определяют, до какой температуры можно нагреть коллектор без рас­хода теплоносителя

В работе [65] предложена формула для определения ко­эффициента теплообмена от поглотителя лучистой энергии к воде в зависимости от угла наклона приемника

Nu = 0,85(1 + p)°’23Re0’33, (1.118)

где Nu, Re — соответственно числа Нуссельта и Рейнольдса; Р — угол наклона коллектора.

Основные показатели эффективности солнечных кол­лекторов следующие [9]:

— коэффициент эффективности коллектора f’K0J[, ха­рактеризующий степень неравномерности темпе­ратурного поля в поперечном сечении панели, т. е. эффективность переноса поглощенного солнечно­го излучения к потоку теплоносителя в трубах. В хорошо спроектированном коллекторе значение ^кол = 0>92…0,99;

— оптический КПД г)0, практически равный произ­ведению пропускательной способности прозрачной изоляции ts на поглощательную способность ад по­глощающей панели в солнечном коллекторе. Макси­мальное значение г|0 = тдад =1; при одинарном осте­клении г|0 не превышает 0,8;

— коэффициент теплоотдачи к зависит от многих фак­торов: скорости ветра, количества прозрачных по­крытий, расстояния между ними, а также между внутренним стеклом и панелью, степени черноты по­глощающей панели в длинноволновой части спектра.

Теплотехническое совершенство солнечного коллекто­ра можно оценить коэффициентом тепловых потерь

и0 = и/( ах). (1.119)

Чем меньше значение U0, тем выше тепловая мощность коллектора.

Характеристикой коллектора является максимальная температура too, до которой нагревается поглощающая па­нель, если от коллектора не отводить теплоты.

Важной характеристикой коллектора является его кпд, который определяется как отношение теплопроизво­дительности к падающему потоку солнечной радиации.

Л = /Ч| — /,,’ол ^, (1.120)

я

где Тж — средняя температура теплоносителя в коллекто­ре; q — поверхностная плотность потока суммарной (пря­мой и диффузионной) солнечной радиации в плоскости коллектора.

Зависимость г| от (тж— TQ)/qcyM графически представляет собой прямую линию, которую следует рассматривать как тепловую характеристику коллектора (рис. 1.24).

В соответствии с данными работы [63] удельная мощ­ность солнечного водонагревателя (СВН) может быть опре­делена по формуле

<ZK =gcpB[(PsQaSa + PD%SD)/U + Т0- TJ, (1.121)

Рис. 1.24.

Зависимость КПД коллектора от температуры окружающей среды, теплоносителя и плотно­сти потока солнечной радиации:

1-е алюминиевым штампованым абсорбером и двойным остеклени­ем; 2-е антиотражающим покры­тием и двойным остеклением; 3 — с селективным покрытием на сталь­ном абсорбере; 4-е однослойным остеклением где g — удельный расход теплоносителя, кг/(м2-с); ср — изо­барная удельная теплоемкость теплоносителя, Дж/(кг-К)‘, 0s, 0Д — приведенные оптические характеристики (погло­щательные способности) СВН соответственно для прямой и диффузионной радиации; Тдх — температура теплоноси­теля на входе в СВН; U — приведенный коэффициент тепло­передачи СВН.

Величина В определяется зависимостью В = exp(-U/gcp). График В — f(kf /gcp), где f — показатель неравномерности поля температур в коллекторе; k — коэффициент теплопе­редачи, приведен на рис. 1.25.

Если СВН используют для получения воды с заданной температурой Тдых, то при известных значений Тдх и Тр для величины В можно пользоваться зависимостью

В = (Т — Т )/(Т — Т ),

v ВЫХ ВХ// у р ВХ/7

где равновесная температура СВН

Тр = (P&Ss + Pd%Sd)/U + г0; (1.122)

удельный расход воды при Твых = const равен

g=U/Bcp. (1.123)

Рис. 1.25.

График зависимости B = f(kf’/gcp)

Величина В характеризует степень использования рав­новесной температуры и зависит от удельного расхода те­плоносителя — с его уменьшением она растет. Однако КПД солнечного водонагревателя уменьшается. Наибольшие показатели СВН достигаются при gcp = (2…4)U, что со­ответствует эффективности 0,86…0,90 от максимально допустимой.

Коэффициент полезного действия коллектора опреде­ляется из зависимости

Л = gcpB[(PsQsSs + PD%SD)/U — (Твх — TQ)/(PsSs + PDSD)]. (1.124)

Значения 0s, 0D, U и f’ определяют расчетом или экспе­риментально. Приближенные значения 0g, 0D и U для СВН приведены в табл. 1.1.

Заслуживает внимания метод расчета гелиосистем те­плоснабжения, разработанный М. И. Валовым и Б. И. Ка — занджаном [66]. Они вводят понятие среднеинтегральных значений плотности потока солнечной радиации н (сред­несуточных, среднемесячных и т. д.). Этим существенно упрощается методика расчета, но точность его снижает­ся. Технико-экономические расчеты показали [67], что использование усредненных данных плотности потока солнечной радиации позволяет удовлетворить точность определения приведенных затрат (в пределах 5%). В кон­цепции расчета используются среднеинтегральные значе­ния и других величин: приведенная поглощательная спо­собность солнечного коллектора (ой); произведение Ft’U и Fr'(or), а также среднемесячная температура наружного воз­духа %, продолжительность солнечного сияния Р, перепад температур теплоносителя в системе теплоснабжения АТ.

В расчетные формулы входит величина Fr’, завися­щая от схемы присоединения солнечного коллектора к баку-аккумулятору:

где єкол, Єт — безразмерные удельные тепловые нагрузки соответственно солнечного коллектора и теплообменника гелиоколлектора:

_ _________ 1_________

Ет~ aWM/W6+b + Wx/(kS)

где WrE — эквивалент расхода теплоносителя гелиокол­лектора, Вт/К; а, Ь — коэффициенты, зависящие от схемы движения теплообменивающихся потоков [30]; k — коэф­фициент теплопередачи, кДж/(м2-ч-К); S — площадь по­
верхности теплообменника, м2; Wm, W6 — меньшее и боль­шее значения расхода теплообменивающихся потоков в скоростном теплообменнике, Вт/К.

Авторами [67] разработаны номограммы для расчета усредненных энергетических характеристик систем сол­нечного теплоснабжения.

3.1. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Создание и развитие математического моделирования обусловлено появлением электронно-вычислительных машин, способных производить арифметические и логи­ческие вычисления с колоссальной скоростью. Необходи­мость решения все более сложных задач науки, техники и народного хозяйства потребовала разработки и обосно­вания математических моделей, отражающих основные закономерности исследуемых явлений, и создания эконо­мичных численных алгоритмов их решения. Эффективная реализация этих алгоритмов, в свою очередь, не только потребовала разработки и создания новых ЭВМ, но и сти­мулировала исследования по созданию новых языков про­граммирования, операционных систем и систем поддерж­ки программного обеспечения, а также новых подходов в программировании и информационных технологиях. Все это позволило перейти от использования ЭВМ как скорост­ного вычислителя к системе моделирования, включающей весь процесс: от разработки математических моделей, чис­ленных алгоритмов, программирования до создания ком­плексов и пакетов программ для решения классов задач, анализа результатов, вывода, хранения их, что является содержанием нового научного направления — математиче­ского моделирования [45-49].

Математическое моделирование наряду с физическим и натурным экспериментами является основным способом
исследования и получения новых знаний в различных об­ластях. Можно ожидать, что его роль в дальнейшем возрас­тет, но оно не заменит физический или натурный экспери­мент, так как опыт всегда остается основой исследования.

Для задач механики сплошных сред в наиболее полной постановке физико-математические модели могут быть описаны интегральными законами сохранения, выражаю­щими связь между изменением во времени в замкнутом объеме V некоторых величин (потоков) и их изменением при переходе через границы S, а также взаимодействие по­токов с внешними источниками или стоками

(1.112)

Интегральные законы сохранения (например, массы, импульсов и энергии для моделей сплошной среды) явля­ются наиболее общей формой описания движения сред и справедливы как для непрерывных, так и для дискретных систем.

Наряду с интегральной формой используется их диффе­ренциальное представление

полученное из (1.112), но справедливое лишь для непре­рывных решений.

Полученные уравнения могут быть уравнениями раз­личного типа (гиперболическими, параболическими, эл­липтическими или уравнениями переменного типа), что приводит к различным постановкам начальных и краевых задач. Более того, при исследовании одного класса задач тип уравнений может меняться в зависимости от характе­ра решения.

Создание моделей, адекватно описывающих иссле­дуемое явление или изучаемый процесс, включает их
математическое обоснование и корректную постановку начально-краевых задач. В соответствии с современными представлениями все классы моделей для задач механики могут быть условно разделены на четыре группы (уровня):

1) аналитические приближения и линеаризованные уравнения;

2) нелинейные уравнения без учета диссипативных процессов;

3) нелинейные уравнения с учетом диссипативных процессов;

4) полные нестационарные модели, описываемые урав­нениями с учетом реальных эффектов (типа уравнений На — вье — Стокса с учетом сжимаемости и теплопроводности, турбулентности и пр.), уравнениями многокомпонентных и многофазных сред, а также магнитогидродинамические модели различного уровня и пр.

Нелинейность большинства исследуемых задач и со­ответствующих систем дифференциальных уравнений не позволяет получить их точные решения, за исключением некоторых частных случаев. Более того, такие решения не всегда существуют, поэтому основными методами их на­хождения являются приближенные и численные.

На современном этапе развития математического моде­лирования широкое распространение получили различные численные методы: конечных разностей (МКР), конечных объемов (МКО), конечных элементов, граничных элемен­тов, а также специальные методы: частиц в ячейках, ста­тистических испытаний и пр.

Разновидностью МКР является МКО, основаный на ап­проксимации исходных уравнений в интегральной форме. Возможность выбора различных форм расчетных ячеек при аппроксимации расчетных областей способствовала распространению МКО при решении задач сложной гео­метрии, в том числе в многосвязных областях. Исходные уравнения аппроксимируются для каждой исходной ячей­ки, т. е. получаемые схемы являются консервативными. Порядок аппроксимации зависит от точности аппроксима­ции объемных и поверхностных интегралов, что облегчает построение схем повышенного порядка.

Очевидно, перечисленные требования должны быть до­полнены требованием адекватности или близости свойств разностной схемы к свойствам исходной задачи, условия­ми консервативности схемы, однородности алгоритма и т. д.

Задача оптимизации может иметь одно или несколько решений (или не иметь их). Отсюда следует вывод о не­возможности построения универсального алгоритма для решения задач различных классов и необходимости созда­ния алгоритмов в зависимости от целей исследования.

Проведем анализ основных требований, предъявляе­мых к численным алгоритмам.

Чтобы обеспечить сходимость численного решения к решению исходной задачи, необходимо удовлетворить условия аппроксимации и устойчивости (корректности) разностного решения. Доказательство этих утверждений достаточно сложное, особенно в случае нелинейных урав­нений, и является одним из актуальных вопросов теории разностных схем.

Требования к точности расчета для различных физико­математических задач могут быть различными в зависимо­сти от цели моделирования. Разумеется, точность расчета должна быть согласована с точностью выбранной физико­математической модели.

Требование экономичности алгоритма всегда являлось одним из главных и понималось как минимизация числа арифметических операций на решение задачи.

Методом расчета систем солнечного теплохладоснабже­ния посвящена обширная литература [3, 9, 51, 52, 53, 54, 55-63].

Ниже рассматриваются математические модели тепло­массообменных процессов, протекающих в коллекторах солнечных систем. Анализ этих процессов позволит опре­делить пути повышения их эффективности.

Рабочий цикл включает восемь периодов зарядки си­стемы при температуре теплоносителя на входе, равной 65 °С, и четыре периода разрядки при температуре на вы­ходе 36 °С. Эти условия обеспечивают 6 МВт ч разрядной емкости при минимальной температуре на выходе 36 °С. Регенерация теплоты при этом не ниже 70 % [39, 40].

Аналогичный принцип, по мнению авторов, может быть использован, если теплоаккумулирующий материал осно­ван на фазовом превращении (например, парафин).

Поскольку выделяемый участок грунта имеет цилин­дрическую форму, то математическая модель теплопереда­чи записывается в цилиндрических координатах

(1.87)

Начальные и граничные условия следующие

(1.88)

(1.89)

В этих уравнениях Тг — температура грунта, °С; 2 — глубина измерения температуры, м; аг — коэффициент температуропроводности грунта, м2/с; г — радиус спи­рали, м; i?2 — радиус элемента грунта, ж; т — время, с; Хг — теплопроводность грунта, Вт/(м К); q — тепловой поток, Вт/м2.

Анализ и оптимизация систем аккумулирования тепла на основе метода термоэкономической концепции впервые выполнены авторами работы [41]. Рассматривается про­стая схема, в которой аккумулирующей жидкостью слу­жит вода, а теплоносителем — газ. Для загрузки аккумуля­тора теплом используется теплообменник в виде змеевика.

Для решения задачи термоэкономической оптимиза­ции авторы используют метод и результаты исследований А. Бежана [42].

Генерирование энтропии Ss, кДж/К, в процессе загруз­ки аккумулятора за время от нуля до xs аккумулирования определяется соотношением:

Производство энтропии в процессе разгрузки в течение времени х > xs равно

Суммарное производство энтропии с учетом уравнений (1.93) и (1.94):

(1.95)

В этих уравнениях приняты обозначения: с — удельная теплоемкость жидкости (воды), кДж/(кг К); ср — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, кДжДкг К); М — масса жидкости в баке, кг; R — газовая постоянная, кДж(кг К); ms, mR — расход газа при загрузке и разгрузке, кг/с; р0 — атмосферное давление, кПа; ApR, Ар8 — падение давления при разгрузке и загрузке, кПа; А — площадь те­плообмена со стороны газа, м2; ц — безразмерный параметр; є — параметр, характеризующий способность системы ак­кумулировать тепловую энергию; 0Л, 0g — безразмерная разность температур при разгрузке и зарядке; тл, тв— без­размерное время при разгрузке и зарядке; yR — параметр теплообмена.

Параметр уR определяется из уравнения:

где k — коэффициент теплопередачи, кДж/(м2 К).

Суммарный расход, дол., на содержание и эксплуата­цию системы аккумулирования за год равен

В формуле (1.97) дополнительно приняты обозначения: k0 — фиксированный ежегодный взнос в систему аккумули­
рования, дол. г — ежегодный внос для поддержания и экс­плуатации системы аккумулирования, дол./м2′, Ар — удель­ный расход, обусловленный необратимыми процессами, дол./(кВт ч).

Рассматривая варианты систем аккумулирования, можно определить оптимальное значение Z.

В качестве долгосрочных аккумуляторов целесообразно использовать подземное хранилище тепла. При использо­вании подземных аккумуляторов необходимо решить за­дачу тепломассопереноса в породе. Рассмотрим процесс фильтрации теплоносителя в наиболее общей постановке задачи с учетом пространственного характера и сложной структуры (неоднородности, анизотропии) пород [43, 44].

Естественные структуры скважин часто представля­ют собой трещиноватые или трещиновато-пористые сре­ды. Для трещиновато-пористой породы характерно то, что основная масса жидкости не скапливается в блоках, а пере­двигается по трещинам. Поэтому пористость трещин и про­ницаемость блоков можно принять равными нулю. При та­ком допущении фильтрация жидкости (теплоносителя) в трещиновато-пористой среде в условиях нестационарности процесса описывается уравнением

pV(*i/VP1)+^^- = 0; (1.98)

т

дР2_+Р2~Рі =0 (І.99)

dt т

где р — коэффициент пьезопроводности, который в трещиновато-пористой среде зависит от трещин и от пори­стости блоков; рх и р2 — давление среды для трещин и бло­ков; х =ц$2/а, где р — коэффициент динамической вязкости теплоносителя; Р2 — сжимаемость пористых блоков; а — без­размерная характеристика породы, выражающая интен­сивность обмена между двумя средами; t — время.

Исключив из системы уравнений (1.98), (1.99) одно из давлений, получим выражение для давления в одной из сред

до 0V(fc, VP)

%- = PV(fyVP) + q ;• =0,

dt dt

где л = рт.

Решение уравнения (1.100) известно [31].

Приведем математическое выражение упругой филь­трации теплоносителя в геотермальной циркуляционной системе, состоящей из двух скважин: нагнетательной и эксплуатационной. В цилиндрической системе координат математическая постановка задачи имеет вид

d[1]U IdU 1 d2U dU _ _

—q-+—-+^5-—п-=——— ; г>1.

dr2 г dr dr2 5ср2 SFo

tf(^<P. Fo)|Fo=0 =n(r, cp, Fo)|^M =0; Ur^ =U0; (1.102)

lim л — = g; л = Jr + ~R2 — 2rRcos (p; ч-»о drx

r=r/rc-, R = R/rc; U = (1.103)

Po

Задача решается с использованием преобразования Ла­пласа, методом разделения переменных и методом функ­ции Грина. Чтобы найти решение U (г, g, Fo) используем функцию Фурье-Меллина. Получим:

где

Bn = In(x)Nn(Rx)-In(Rx)Nn(x);

Cn = In (x)Nn (rx) — In (rx)Nn (x);

Dn=I2n(x) + N2n(xy,

In (де), Nn(x) — функции Бесселя, соответственно первого и второго порядка.

Теплоперенос при установившейся фильтрации тепло­носителя описывается системой уравнений:

К^г = с*Рм%, Н>г>0; (1.105)

дг дх

дТ

?т “’av ~ ) = (1 ■“ ■тт )стРт “rf. 0 > 2 > — Hi

дх

divu) = 0; 0>z>-H; (1.108)

Mk=H(wl)dTk, (1.110)

Ги

где t — температура; т — время; А, — теплопроводность; с — удельная теплоемкость; р — плотность; г — коорди­ната в направлении, нормальном к плоскости филь­трации теплоносителя; av — коэффициент теплообмена; q — плотность теплового потока; Н — мощность зоны филь­трации (диаметр скважины); т — пористость; W — массо­вая скорость фильтрации; Mk — массовый расход теплоно­сителя через k-ю скважину; Г — контур источника (стока); I — внешняя нормаль к Г; индексы *т», «ж», «k», от­

носятся соответственно к породам, жидкости, нагнетатель­ным скважинам, породам в окружающем геотермальную зону массиве.

Для скважины круглого сечения с учетом симметрии относительно плоскости г = — Н/2 будем иметь

2(1-mT)XK dtM Я~ Н дг

где q = qT + дж — тепловой поток из массива в зону фильтра­ции геотермальной циркуляционной системы, отнесенный к единице ее объема.

В каждом конкретном случае в зависимости от кон­структивных и функциональных характеристик аккуму­лятора выбирается соответствующий метод решения.