3.1. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Создание и развитие математического моделирования обусловлено появлением электронно-вычислительных машин, способных производить арифметические и логи­ческие вычисления с колоссальной скоростью. Необходи­мость решения все более сложных задач науки, техники и народного хозяйства потребовала разработки и обосно­вания математических моделей, отражающих основные закономерности исследуемых явлений, и создания эконо­мичных численных алгоритмов их решения. Эффективная реализация этих алгоритмов, в свою очередь, не только потребовала разработки и создания новых ЭВМ, но и сти­мулировала исследования по созданию новых языков про­граммирования, операционных систем и систем поддерж­ки программного обеспечения, а также новых подходов в программировании и информационных технологиях. Все это позволило перейти от использования ЭВМ как скорост­ного вычислителя к системе моделирования, включающей весь процесс: от разработки математических моделей, чис­ленных алгоритмов, программирования до создания ком­плексов и пакетов программ для решения классов задач, анализа результатов, вывода, хранения их, что является содержанием нового научного направления — математиче­ского моделирования [45-49].

Математическое моделирование наряду с физическим и натурным экспериментами является основным способом
исследования и получения новых знаний в различных об­ластях. Можно ожидать, что его роль в дальнейшем возрас­тет, но оно не заменит физический или натурный экспери­мент, так как опыт всегда остается основой исследования.

Для задач механики сплошных сред в наиболее полной постановке физико-математические модели могут быть описаны интегральными законами сохранения, выражаю­щими связь между изменением во времени в замкнутом объеме V некоторых величин (потоков) и их изменением при переходе через границы S, а также взаимодействие по­токов с внешними источниками или стоками

(1.112)

Интегральные законы сохранения (например, массы, импульсов и энергии для моделей сплошной среды) явля­ются наиболее общей формой описания движения сред и справедливы как для непрерывных, так и для дискретных систем.

Наряду с интегральной формой используется их диффе­ренциальное представление

полученное из (1.112), но справедливое лишь для непре­рывных решений.

Полученные уравнения могут быть уравнениями раз­личного типа (гиперболическими, параболическими, эл­липтическими или уравнениями переменного типа), что приводит к различным постановкам начальных и краевых задач. Более того, при исследовании одного класса задач тип уравнений может меняться в зависимости от характе­ра решения.

Создание моделей, адекватно описывающих иссле­дуемое явление или изучаемый процесс, включает их
математическое обоснование и корректную постановку начально-краевых задач. В соответствии с современными представлениями все классы моделей для задач механики могут быть условно разделены на четыре группы (уровня):

1) аналитические приближения и линеаризованные уравнения;

2) нелинейные уравнения без учета диссипативных процессов;

3) нелинейные уравнения с учетом диссипативных процессов;

4) полные нестационарные модели, описываемые урав­нениями с учетом реальных эффектов (типа уравнений На — вье — Стокса с учетом сжимаемости и теплопроводности, турбулентности и пр.), уравнениями многокомпонентных и многофазных сред, а также магнитогидродинамические модели различного уровня и пр.

Нелинейность большинства исследуемых задач и со­ответствующих систем дифференциальных уравнений не позволяет получить их точные решения, за исключением некоторых частных случаев. Более того, такие решения не всегда существуют, поэтому основными методами их на­хождения являются приближенные и численные.

На современном этапе развития математического моде­лирования широкое распространение получили различные численные методы: конечных разностей (МКР), конечных объемов (МКО), конечных элементов, граничных элемен­тов, а также специальные методы: частиц в ячейках, ста­тистических испытаний и пр.

Разновидностью МКР является МКО, основаный на ап­проксимации исходных уравнений в интегральной форме. Возможность выбора различных форм расчетных ячеек при аппроксимации расчетных областей способствовала распространению МКО при решении задач сложной гео­метрии, в том числе в многосвязных областях. Исходные уравнения аппроксимируются для каждой исходной ячей­ки, т. е. получаемые схемы являются консервативными. Порядок аппроксимации зависит от точности аппроксима­ции объемных и поверхностных интегралов, что облегчает построение схем повышенного порядка.

Очевидно, перечисленные требования должны быть до­полнены требованием адекватности или близости свойств разностной схемы к свойствам исходной задачи, условия­ми консервативности схемы, однородности алгоритма и т. д.

Задача оптимизации может иметь одно или несколько решений (или не иметь их). Отсюда следует вывод о не­возможности построения универсального алгоритма для решения задач различных классов и необходимости созда­ния алгоритмов в зависимости от целей исследования.

Проведем анализ основных требований, предъявляе­мых к численным алгоритмам.

Чтобы обеспечить сходимость численного решения к решению исходной задачи, необходимо удовлетворить условия аппроксимации и устойчивости (корректности) разностного решения. Доказательство этих утверждений достаточно сложное, особенно в случае нелинейных урав­нений, и является одним из актуальных вопросов теории разностных схем.

Требования к точности расчета для различных физико­математических задач могут быть различными в зависимо­сти от цели моделирования. Разумеется, точность расчета должна быть согласована с точностью выбранной физико­математической модели.

Требование экономичности алгоритма всегда являлось одним из главных и понималось как минимизация числа арифметических операций на решение задачи.

Методом расчета систем солнечного теплохладоснабже­ния посвящена обширная литература [3, 9, 51, 52, 53, 54, 55-63].

Ниже рассматриваются математические модели тепло­массообменных процессов, протекающих в коллекторах солнечных систем. Анализ этих процессов позволит опре­делить пути повышения их эффективности.