Технологические сложности изготовления параболических отражателей приводят к необходимости рассмотреть возможность оптимального их приближения к окружностям [5.11].

Рассмотрим образующую параболоторического фоклина с па­раметрическим углом 5=24°. В полярной системе координат (г, и) она будет задана уравнением (рис. 5.17):

<j(l + cos66°)
(l + cosh)

(5.25)

Угол u изменяется в пределах от 66° до 156° в неусеченном варианте фоклина. Однако так как верхняя часть фоклина практиче­ски не влияет на уровень концентрации, ограничим верхнее значе­ние угла 126°.

Используя (5.25), получим — ті(66°)=57°, а г)(126°)=87°, то есть Дт]=30о.

Проведем хорду L между начальной и конечной точками об­разующей параболы и построим окружность, приведенную к пара­боле (рис. 5.17), удовлетворяющую следующим условиям:

1. Приведенная окружность касается параболы в нижней точ­ке;

2. Углы наклона частей окружности и параболы в их верхних точках совпадают и равны г|(126°)=87°;

3. Хорды L, проведенные из нижних точек сегментов парабо­лы и окружности в их верхние точки, имеют одинаковую длину.

Проведем построение для 5=24°.

Величина хорды L вычисляется по формуле:

-Jsin2 60° • (l + cos 66° )2 + (cos 60° •(l + cos66°)-l-cosl26<’)2 >

(5.26)

которая получается подстановкой в формулу расстояния в декарто­вой системе координат значений координат верхней и нижней точек, выраженных через полярные координаты.

Радиус окружности, для которой хорда L будет соединять точки, для которых Дг|=30°, равен:

(5.27)

Координаты центра окружности (а, Ь) получаем из условия на касание с параболой в нижней точке:

a = d-R-sm51° b = Rcos5T>.

(5.29)

Построенная таким образом окружность является оптималь­ной в следующем смысле.

Рассмотрим семейство окружностей, образующих круглоци­линдрические фоклины, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Сегменты всех окружностей пересекаются в нижней точке, совпадающей с нижней точкой сегмента параболы;

2. Хорды, соединяющие нижние и верхние точки окружно­стей, имеют одну длину с хордой, соединяющей верхнюю и ниж­нюю точки сегмента параболы;

3. Углы наклона касательных к сегментам окружностей в их верхних точках совпадают с углом наклона параболы в верхней точ­ке и равны г|(1260)=870.

Так как окружность в отличие от параболы не фокусирует лу­чи точно в фокус, то часть лучей попадет на противоположную грань фоклина и отразится наружу. Поэтому поднимем поверхность выхода так, чтобы все отраженные лучи попали на нее.

Для каждого параболоторического фокона описанное семей­ство сегментов окружностей является однопараметрическим семей­ством, зависящим от угла наклона сегмента в нижней точке. Дейст­вительно, при заданном нижнем угле наклона и известных L и верх­нем угле наклона мы получаем значение радиуса и координат центра окружности по формулам, аналогичным (5.27) — (5.28). Поэтому не­обходимо найти окружность с таким углом наклона в нижней точке, при котором достигается максимальная концентрация на поднятой поверхности выхода.

Решение найдём методом математического моделирования по следующему алгоритму:

1. Задается угол наклона окружности в нижней точке и моде­лируется соответствующий сфероцилиндрический фоклин;

2. Моделируется ход лучей при отражении от окружности;

3. Находится точка на противоположной грани фоклина, про­хождение через которую выходной поверхности обеспечивает со­хранение всех отраженных от окружности лучей;

4. Вычисляется геометрическая концентрация и относитель­ная высота фоклина.

Изменяя значения угла наклона в нижней точке, ищем такой угол, при котором достигается максимальный уровень концентра­ции.

Данные расчета для разных углов наклона отражающей ок­ружности для фоклина даны в таблице 5.1.

Таблица 5.1. Углы наклона отражающей окружности Угол наклона 55 56 57 58 59 Концентрация 2.0642 2.0738 2.0789 2.0776 2.0735 Высота 1.7391 1.8062 1.8722 1.9094 1.9438

Графики зависимости концентрации и относительной высоты от угла наклона даны на рис. 5.18.

Как видно, высота сфероцилиндрического фоклина монотон­но возрастает с ростом угла наклона. Наибольшее значение концен­трации достигается при угле наклона в нижней точке, равном 57°, что соответствует значению угла для приведенной окружности.

Как показывают сравнительные расчеты концентрации между сфероцилиндрическим фоклином и усеченным до той же высоты параболоцилиндрическим фоклином, от которого он образован, сте-

Рис. 5.18. Зависимость концентрации (а) и относительной высоты (б) круглоцилиндрического фоклина от изменения угла при исходном осно­вании приподнятой поверхности выхода

пень концентрации параболоцилиндрического варианта всего на 5% больше, что дает возможность использовать сфероцилиндрический вариант как более простой в изготовлении вместо усеченного пара­болоцилиндрического. Действительно, зная значение координаты у точки параболы, по формулам (2.3) (d=l) находим значение ее пара­метрического угла и в полярной системе координат и значение абс­циссы х через угол: и=115°, х=1,59.

Откуда получаем величину поверхности входа: d + 2 ■ (х — d) = 1 +1,18 = 2,18, она дает значение концентрации, полу­чаемой от усеченного фоклина, которая на 4,8% больше, чем соот­ветствующее значение для сфероцилиндрического фоклина.