Для удобства решения переместим начало координат из точки х = О в точку х = h и перейдем от переменной х к переменной х. При х = 0 в соответствии с решением в зоне кристаллизации будем иметь следую­щие граничные условия:

£(0,г) = ехр K*a^(l-eP(1_z)jj, (17)

= _к * asjft (0, г) еР(1_г), 0 < г £ 1. (18)

at

Уравнение (2) описывает также стационарное распределение тем­ператур в области охлаждения ленты — 0 < т < L. Учитывая (11), за­пишем (2) в безразмерном виде

Э0(х, г) Э20(т, г) дШь(г) ^ ^

Эх Эг2 Эт

где по аналогии с (3)

t

0 (t, г) = | Xs (t) dt = In [і (t, г) / tb (t)] (2ft)

В соответствии с предположением (в) примем граничные условия первого рода на верхней и нижней стенках кристаллизатора, учитывая (8), (12), (17) и (19)

(22) (23) (24)

Ч ("О * t(х,0) = tb (0)exp[«•<(!-«*)], 0 < х < xL; tb (0) ■ t (0,0) = ехр[к*о* (l — ep)];

Ј(x, l) = exp[^c*a* (1-й»’)]. о < x < xL.

Учитывая (20), перейдем в выражениях (17)—(18), (22)-(24) к перемен­ной 0:

(25) (25) (27)

0(о, г) = к*<(ер-ер(1 г)у 0 < г ^ 1; Э^^ = к*<(л-Р2ер(1_г)), 0 < г < 1;

Эт

0(т, 1) = к*а5т (є’*»’ — є*’ +е?-І), (28)

Соответствие (26) и (18) при г = 0 и г = 1 требует

Л=Р2еРиД=р2. (29)

Таким образом, возможная погрешность в тепловом потоке при выборе независимых Аь и At составляет ~ к * affi. Так как р « 1, то такой погрешностью можно пренебречь.

Будем предполагать, что одинакова в областях I и II (см. рис. П. 1.1). В противном случае анализ показывает, что при принятом ана­литическом виде (22) и (24) возникает строгая зависимость между ско­ростью вытягивания и физическими характеристиками кремния, то есть отсутствует всякая технологическая вариабельность. Для кремния при условии, что в кристаллизаторе лента охлаждается на 150 К, постоянст­во asm соблюдается с точностью 6%. Учитывая экспериментальную погрешность в измерениях свойств и сделанные предположения, такая погрешность является вполне удовлетворительной.

Способ решения уравнений вида (19) очень подробно описан в [9]. Разложим 0 (х, г) в ряд Фурье по синусам (в соответствии с условием (27)) по параметру г на интервале 0 < z < 1

®M.= S2M*)sin(M. (3°)

п=I

где

і

(х) = J ©(x,2r)sm(n„^)f/^, (31)

о

и решим (19) при граничных условиях (25) — (28).

Умножим (19) на sin (|хпг) и проинтегрируем по г от 0 до 1

j э20(.1»г) sin (ц„г)dz = + к * а^Аье^, (32)

J0 dz дх

где в соответствии с (22) учтено, что

(33)

дх

Если взять интеграл в левой части (32) по частям, учесть (31) и

sin М-„ = 0, (34)

то

|3 Ц2’*"S‘n [©(х>°) " 0(х>1)cos^ J " А СО • (35)

Подставим (35) в (32)

Zh (г

+ ^п(‘с) = 5(ц„,х), (36)

Эх где

В (ц„,х) ■ [0(х, о) — 0(х, l)cosp.„] + к * (1 — cosp.„)/p.„,

(37)

или с учетом (27) и (28)

(38)

В(іп, х) = к*а;

Решение дифференциального уравнения (36) имеет следующий вид:

0-да

В соответствии с (25), (31) и (34)

Ь„ (0) = J 0 (0, г) sin (ц„г) dz = к * < о

l—cosm^ ц„ | mcosi^

Ц„ Ц^+Р2 ц£+р2

(40)

Подставим (38) и (40) в (39), затем возьмем интеграл и получим

Ъп (х) = к * < Ц 1-^Ьі. «У —

v-n к + А

соЩ„ | Jj Дп+Р2

M. ncosnn+e

^ 1 — COS Цп [1п Л

м* +Р2

(41)

Подстановка (41) в (30) дает

0(т, г>=?2к*а£,]£

Ц„ Sin(^„2)

Я=1

2Ah(e^-е~^х) | с^-бГ^ мМ+Л) Дп + Л

е^т _ g~tfr ^ (еР _ 1)(1 _ 2ер~ц"т (1 + ер)е~ц"т

Дп + Л + ^ + ^ ^+Р2

_ e-vi* ^ _ e-v^T (ер _ 1)(1 _ е^т}

V„ sin(V„2)

+ ^ ii———————— ‘ +

V„+A V^+Л,

, 0 Ј z< 1.

Здесь |0.„ = (2n-) n, v„ = 2nn. Если правую часть (26) разложу аналогично в рад Фурье, то

(еР — l)e~v v2+p2

(43)

Дифференцирование (41) по t и подстановка полученного выражения в (30) также дают нам (43). Таким образом, мы показали выполнение ус­ловия (26).

Требование уменьшения термических напряжений поперек плас­тины и ее равномерного охлаждения можно представить так:

(44)

Чч>’) = Ч{ч)

и

(45)

Э0(т,1) _ Э©(х, 0) Эг дг

В соответствии с (23) и (24) уравнение (44) свяжет параметры Аь и At. Согласно (30) уравнение (45) потребует только четных значений п,

т. е. в (42) останутся только слагаемые с v„.

Уравнения (8) и (42) показывают, что мы располагаем тремя сво­бодными параметрами: Аь, At и h. На рис. П. 1.1 видно, что h связыва­ет скорость роста и скорость вытягивания

(46)

vK = Уд sin y = vsBl V1 4-h2 = г>в! h.

Таким образом, выбор соотношения и* / vK определяет h в единицах б. Это реально ограничивается поддержанием необходимого механизма кристаллизации и теплового режима.

1.2. РАСЧЕТЫ

Средний размер зерна в поликристаллическом материале находит­ся в существенной зависимости от скорости охлаждения на фронте кристаллизации:

(47)

В соответствии с выводами [10-11] эту зависимость мы можем пред­ставить в виде

(48)

dx = tvT1/2 ></,*.

10 20 30 40

о

d, мм

Рис. П.1.2. Зависимость размера вторичных дендритов от размера первичных дендритов.

Неравенство определяет наибольшее значение vT, при которой еще бу дет расти зерно заданного размера d*. При дендритном росте зерен размер вторичных ветвей дендритов в соответствии с выводами [11] можно определить как d2 = О, Ц°8. Он должен быть не меньше 1 мм либо существенно меньше 1 мм, чтобы не влиять на средний размер зерна. Зависимость d2{d{) — слегка нелинейна (рис. П. 1.2).

Параметр Ь в (48) определяли по данным работы [12]: при vT =

10 К/мин размер зерна d} — 3-5 мм. Отсюда Ь = 9,8 10“3 м(К/с)1/2, что хорошо согласуется с условиями, наблюдавшимися в [13]. Для оценки vK необходимо знать критическую скорость выращивания, превышение которой приводит к прекращению монокристаллического роста зерна. В [14] приводится эмпирическая формула для метода БЗП:

(49)

только здесь размерности vK — в см/мин, D — в см. В [14] также отмечает­ся, что для устойчивого и воспроизводимого выращивания бездислока ционных монокристаллов оптимальна скорость, приблизительно в 2 раза меньшая, чем вычисляемая по формуле (49)

(50)

Если эффективный размер площади фронта кристаллизации на рис. П.1.1 записать в виде

(51)

D = — fewbhisiiry,

то, подставляя (51) в (50) с учетом (46), получим

vK = 1,25 • 10’5 (JI/4W6)1 М (l + (Я/б)2 )~‘ ‘* (52)

Решая совместно (8), (12), (47), (48) и (52), приходим к нелинейному неравенству

А2 ~|/(і + /г2)3/4 £ 0, (53)

.1/2

где

(54)

K*Pg

V 1,28Ю10Л*(Ь, М)2

Из выражения (53) получаем значение длины зоны кристаллизации (или скорости вытягивания (46), (52)), обеспечивающее качественный рост зерна заданного размера. В общем случае скорость кристаллиза­ции является функцией переохлаждения и кристаллографической ори­ентации на фронте кристаллизации. Выражение (52) косвенно учитыва­ет эту зависимость, поскольку является следствием эмпирической фор­мулы (50).