Сделаем следующие допущения:

а) температура кремния в жидком клине на интервале х = (0; h) равна температуре кристаллизации и не зависит от пространственных координат;

б) в соответствии с анализом, проведенным в [7], будем учи­тывать влияние перегрева расплава соответствующим увеличением теп­лоты кристаллизации в условии Стефана на поверхности раздела фаз;

в) точный контроль температуры нижней поверхности кри­сталлизатора предполагает граничные условия первого рода.

Поскольку кристаллизатор имеет однонаправленное охлаждение (только нижней поверхности), то в рассматриваемой модели (для об­ласти /, см. рис. П. 1.1) предполагаем, что верхняя стенка кристаллиза­тора является адиабатической и имеет температуру на своей нижней поверхности, равную температуре кристаллизации.

Рис. П.1.1. Схема продольного разреза плоского кристаллизатора. %Цх) — фронт кристаллизации; (—Ха’, 0) — область снятия перегрева, /—область кристаллизации; II — область охлаждения ленты.

Рост качественного кристалла требует одинаковых условий на фронте кристаллизации. Наилучшим образом этому отвечает плоская форма ФК

£(.x) = x/h. (1)

При выполнении условия (1) можно рассматривать характеристики зернообразования вне зависимости от места роста.

Уравнение, определяющее распределение температуры в затвер­девшем кремнии, имеет вид [7]

Если использовать переменную Кирхгофа

t

« = (3)

і

то для области / уравнение (2) можно переписать в безразмерных пере­менных

= 0 <хйК 0 £ г £$(*). (4)

ах дг

На фронте кристаллизации температура везде равна температуре кри­сталлизации

■й(*,г) = 0, г = ^(х). (5)

Допущения (а) и (б) и результаты [7] дают возможность ввести эффек­тивную теплоту кристаллизации, учитывающую перегрев расплава

к* = к + cmv (^о 1) / 2рр,

где

cmv = т^-: Їсе (t)pe (0Л- ~1 ,

Тогда условие баланса теплоты на поверхности фазового превращения можно записать так:

(6)

где штрих означает производную по х.

Решение (4) при условиях (5) и (6) в соответствии с [7] можно представить в виде ряда

ЛІ+1

(7) (8) (9) (Ю);

*(*•’)=§(Ре")’

Наложение условия (1) на (7) приводит к уравнению

В соответствии с (8) условие (в) можно записать в виде 0(л:,О) = к * asm (і — .

Так как Р/А «1,то

d(x,0) « — K*a^x/k = — к*Рescx/h2 « 1.

Согласно [8] теплопроводность кремния в интервале 500-1685 К может быть описана обратно пропорциональной зависимостью

(П) (12) (13)

Xs = lit.

Тогда из (3) мы получаем

ft(x, z) = In t (X, Z), t {x, z) =

или с учетом (10)

t (x, 0) = 1 + (x, 0) = 1 — к * Pe* X / h2.

Для точности решения и разработки технологии важно знать раз­мер зоны снятия перегрева расплава (лг0 на рис. П. 1.1), поступающего в кристаллизатор. Приравняем поток тепла перегрева и поток тепла, пе­редаваемый расплавом нижней стенке кристаллизатора,

v*PeC(8AT0 /X0=a(TM-Tw). (14)

Если разделить (14) на величину АеТс/Ь, то получим запись в безразмерных переменных

Pef At0/х0 = Nu(At0 /2 — Д^) (15)

или

х0 = Pef/ Nu (1 / 2 — Atw /А t0). (16)

При и* = 3 • 1СГ3 м/с, учитывая условие неразрывности v^P* = t^P5,

оценки для кремния показывают, что отношение Pec/Nu = 0,37. Тогда

при |Д^| = [Д£0( или Atw « 0 зона снятия перегрева меньше б.